凸函数的几何理解 📈 _ 凸组合的几何意义 🔄

在数学领域中，凸函数与凸组合的概念是优化问题中的基石。首先，我们来探讨一下凸函数的几何理解。当我们绘制一个凸函数时，可以观察到其图像总是位于任意两点连线之下。这就像一座山，无论你从哪两个点开始攀登，途中都不会比这两点间的连线更高。用数学语言来说，如果f是一个凸函数，那么对于任意的x和y，以及任何0到1之间的t，总有f(tx + (1-t)y) ≤ tf(x) + (1-t)f(y)。

接下来，我们深入探究凸组合的几何意义。凸组合是指给定一组点，通过这些点的线性组合得到的新点，其中每个系数非负且总和为1。想象一下，在二维平面上，如果你有三个点A、B和C，那么所有可能的凸组合将形成一个三角形内部（包括边界）的所有点。这不仅有助于我们直观地理解凸集的概念，也对理解凸优化算法至关重要。