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什么是一元一次方程式(什么是一元一次方程)

导读 在一个方程中,如果只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。(linear equation in one) 一般形式:ax+b=...

在一个方程中,如果只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

(linear equation in one) 一般形式:ax+b=0(a、b为常数,a≠0)。

一元一次方程只有一个解。

一元一次方程的最终结果(方程的解)是x=a的形式 一元一次方程的“等式的性质1”和“等式的性质2” 1.等式两边同时加或减一个相同数,等式两边相等。

(如果a=b,那么a±c=b±c。

) 2.等式两边同时乘或除以一个相同数(0除外),或一个整式,等式两边相等。

(如果a=b,那么ac=bc。

如果a=b,c≠0,那么a/c=b/c。

) 解法是通过移项将未知数移到一边,再把常数移到一边(等式基本性质1,注意符号!),然后两边同时除以未知数系数(化系数为1,等式基本性质2),即可得到未知数的值。

例:7x+23=100 解: 7x=100-23 7x=77 x=77÷7 x=11 在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢? 为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题. 例1 某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数. (首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书) 解法1:(4+2)÷(3-1)=3. 答:某数为3. (其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成) 解法2:设某数为x,则有3x-2=x+4. 解之,得x=3. 答:某数为3. 纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一. 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程. 简单的应用:求加数=和—另一个加数 求被减数=差+减数 求减数=被减数-差 求因数=积/另一个因数 求被除数=商*除数 求除数=被除数/商 一般解法: ⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号 一般先去小括号,在去中括号,最后去大括号。

但顺序有时可依据情况而定使计算简便。

可根据乘法分配律。

⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

⒌系数化1 方程两边同时除以未知数的系数,得出方程的解。

一元一次方程练习题 基本题型: 一、选择题: 下列各式中是一元一次方程的是( ) A. 5a+4b B.4x+9x C. 5x2+9y2 D. 7a-4b 2、方程3x-2=-5(x-2)的解是( ) A.-1.5 B. 1.5C. 1 D. -1 3、若关于 的方程 的解满足方程 ,则 的值为( ) A. 10 B. 8 C. D. 4、下列根据等式的性质正确的是( ) A. 由 ,得 B. 由 ,得 C. 由 ,得 D. 由 ,得 5、解方程 时,去分母后,正确结果是( ) A. B. C. C. 6 、电视机售价连续两次降价10%,降价后每台电视机的售价为a 元,则该电视机的原价为( ) A. 0.81a 元 B. 1.21a元 C. 1.1a元 D.0.1a 元 8、某商店卖出两件衣服,每件60元,其中一件赚25%,另一件亏25%,那么这两件衣服卖出后,商店是 ( ) A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚8元 9、下列方程中,是一元一次方程的是( ) (A) (B) (C) (D) 10、方程 的解是( ) (A) (B) (C) (D) 1已知等式 ,则下列等式中不一定成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 12、方程 的解是 ,则 等于( ) (A) (B) (C) (D) 13、解方程 ,去分母,得( ) (A) (B) (C) (D) 14、下列方程变形中,正确的是( ) (A)方程 ,移项,得 (B)方程 ,去括号,得 (C)方程 ,未知数系数化为1,得 (D)方程 化成 15、儿子今年12岁,父亲今年39岁,( )父亲的年龄是儿子的年龄的4倍. (A)3年后; (B)3年前; (C)9年后; (D)不可能. 16、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的,其中黑皮可看作正五边形,白皮可看作正六边形,黑、白皮块的数目比为3:5,要求出黑皮、白皮的块数,若设黑皮的块数为 ,则列出的方程正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 17、珊瑚中学修建综合楼后,剩有一块长比宽多5m、周长为50m的长方形空地. 为了美化环境,学校决定将它种植成草皮,已知每平方米草皮的种植成本最低是 元,那么种植草皮至少需用( ) (A) 元; (B) 元; (C) 元; (D) 元. 一年期 二年期 三年期 2.25 2.43 2.70 18、银行教育储蓄的年利率如右下表: 小明现正读七年级,今年7月他父母为他在银行存款30000元,以供3年后上高中使用. 要使3年后的收益最大,则小明的父母应该采用( ) (A)直接存一个3年期; (B)先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期; (C)先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存两个1年期; (D)先存一个2年期的,2年后将利息和自动转存一个1年期. 二. 填空题: ,则 ________. 2、已知 ,则 __________. 3、关于 的方程 的解是3,则 的值为________________. 4、现有一个三位数,其个位数为 ,十位上的数字为 ,百位数上的数字为 ,则这个三位数表示为__________________. 5、甲、乙两班共有学生96名,甲班比乙班多2人,则乙班有____________人. 6、某数的3倍比它的一半大2,若设某数为 ,则列方程为____. 7、当 ___时,代数式 与 的值互为相反数. 8、在公式 中,已知 ,则 ___. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 9、如右图是2003年12月份的日历,现用一长方形在日历中任意框出4个数 ,请用一个等式表示 之间的关系______________. 10、一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了____㎝. 1国庆期间,“新世纪百货”搞换季打折. 简爽同学以8折的优惠价购买了一件运动服节省16元,那么他购买这件衣服实际用了___元. 12、成渝铁路全长504千米. 一辆快车以90千米/时的速度从重庆出发,1小时后,另有一辆慢车以48千米/时的速度从成都出发,则慢车出发__小时后两车相遇(沿途各车站的停留时间不计). 13、我们小时候听过龟兔赛跑的故事,都知道乌龟最后战胜了小白兔. 如果在第二次赛跑中,小白兔知耻而后勇,在落后乌龟1千米时,以101米/分的速度奋起直追,而乌龟仍然以1米/分的速度爬行,那么小白兔大概需要___分钟就能追上乌龟. 14、一年定期存款的年利率为1.98%,到期取款时须扣除利息的20%作为利息税上缴国库. 假若小颖存一笔一年定期储蓄,到期扣除利息税后实得利息158.4元,那么她存入的人民币是____元 15、52辆车排成两队,每辆车长a米,前后两车间隔3a/2米,车队平均每分钟行50米,这列车队通过长为546米的广场需要的时间是16分钟,则a=__________. 三、解方程: 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、已知 是方程 的根,求代数式 的值. 四、列方程解应用题: 敌军在离我军8千米的驻地逃跑,时间是早晨4点,我军于5点出发以每小时10千米的速度追击,结果在7点追上.求敌军逃跑时的速度是多少? 2、期中考查,信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生打完一篇文章. 已知独立打完同样大小文章,小宝需要50分钟,小贝只需要30分钟. 为了完成任务,小宝打了30分钟后,请求小贝帮助合作,他能在要求的时间打完吗? 3、在学完“有理数的运算”后,实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队,在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是:每队都分别给出50道题,答对一题得3分,⑴ 如果二班代表队最后得分142分,那么二班代表队回答对了多少道题?⑵ 一班代表队的最后得分能为145分吗?请简要说明理由. 4、某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼,每层楼有6间教室,进出这栋大楼共有3道门(两道大小相同的正门和一道侧门). 安全检查中,对这3道门进行了测试:当同时开启一道正门和一道侧门时,2分钟内可以通过400名学生,若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率降低20%. 安全检查规定:在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这3道门是否符合安全规定?为什么? 5、黑熊妈妈想检测小熊学习“列方程解应用题”的效果,给了小熊19个苹果,要小熊把它们分成4堆. 要求分后,如果再把第一堆增加一倍,第二堆增加一个,第三堆减少两个,第四堆减少一倍后,这4堆苹果的个数又要相同. 小熊捎捎脑袋,该如何分这19个苹果为4堆呢? 6、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品,一等奖每人200元奖品,二等奖每人50元奖品,求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人? 7、一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价,元旦期间,欲打八折销售,以答谢新老顾客对本商厦的光顾,售价为224元,这件商品的成本价是多少元? 8、甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观,甲走了5分钟后乙才出发,甲的速度是80米/分,乙的速度是180米/分,问乙多长时间能追上甲?追上甲时离展览馆还有多远? 较高要求: 已知 ,那么代数式 的值。

2、(2001年江苏省无锡市中考题)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调调价后售出则亏本10%(相对于进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( ). (A)既不获利也不亏本 (B)可获利1% (C)要亏本2% (D)要亏本1% 3、某开发商按照分期付款的形式售房,小明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。

已知剩余款的年利率为0.4%,问第几年小明家需交房款5200元? 4、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元;若制成奶片销售,每吨可获利润2000元. 方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶; 方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成; (1)你认为选择哪种方案获利最多,为什么? (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?若没解出,写出你存在的问题? 5、两辆汽车从同一地点同时出发,沿着同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但是可以不同时返回,两车相互可借用对方的油。

为了使其中一车尽可能地远离出发地点,另一辆车应当在离出发地点多少公里地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里?在一个方程中,如果只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

(linear equation in one) 一般形式:ax+b=0(a、b为常数,a≠0)。

一元一次方程只有一个解。

一元一次方程的最终结果(方程的解)是x=a的形式 一元一次方程的“等式的性质1”和“等式的性质2” 1.等式两边同时加或减一个相同数,等式两边相等。

(如果a=b,那么a±c=b±c。

) 2.等式两边同时乘或除以一个相同数(0除外),或一个整式,等式两边相等。

(如果a=b,那么ac=bc。

如果a=b,c≠0,那么a/c=b/c。

) 解法是通过移项将未知数移到一边,再把常数移到一边(等式基本性质1,注意符号!),然后两边同时除以未知数系数(化系数为1,等式基本性质2),即可得到未知数的值。

例:7x+23=100 解: 7x=100-23 7x=77 x=77÷7 x=11 在小学算术中,我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识,那么,一个实际问题能否应用一元一次方程来解决呢?若能解决,怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较,它有什么优越性呢? 为了回答上述这几个问题,我们来看下面这个例题. 例1 某数的3倍减2等于某数与4的和,求某数. (首先,用算术方法解,由学生回答,教师板书) 解法1:(4+2)÷(3-1)=3. 答:某数为3. (其次,用代数方法来解,教师引导,学生口述完成) 解法2:设某数为x,则有3x-2=x+4. 解之,得x=3. 答:某数为3. 纵观例1的这两种解法,很明显,算术方法不易思考,而应用设未知数,列出方程并通过解方程求得应用题的解的方法,有一种化难为易之感,这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一. 我们知道方程是一个含有未知数的等式,而等式表示了一个相等关系.因此对于任何一个应用题中提供的条件,应首先从中找出一个相等关系,然后再将这个相等关系表示成方程. 简单的应用:求加数=和—另一个加数 求被减数=差+减数 求减数=被减数-差 求因数=积/另一个因数 求被除数=商*除数 求除数=被除数/商 一般解法: ⒈去分母 方程两边同时乘各分母的最小公倍数。

⒉去括号 一般先去小括号,在去中括号,最后去大括号。

但顺序有时可依据情况而定使计算简便。

可根据乘法分配律。

⒊移项 把方程中含有未知数的项移到方程的另一边,其余各项移到方程的另一边移项时别忘记了要变号。

⒋合并同类项 将原方程化为ax=b(a≠0)的形式。

⒌系数化1 方程两边同时除以未知数的系数,得出方程的解。

一元一次方程练习题 基本题型: 一、选择题: 下列各式中是一元一次方程的是( ) A. 5a+4b B.4x+9x C. 5x2+9y2 D. 7a-4b 2、方程3x-2=-5(x-2)的解是( ) A.-1.5 B. 1.5C. 1 D. -1 3、若关于 的方程 的解满足方程 ,则 的值为( ) A. 10 B. 8 C. D. 4、下列根据等式的性质正确的是( ) A. 由 ,得 B. 由 ,得 C. 由 ,得 D. 由 ,得 5、解方程 时,去分母后,正确结果是( ) A. B. C. C. 6 、电视机售价连续两次降价10%,降价后每台电视机的售价为a 元,则该电视机的原价为( ) A. 0.81a 元 B. 1.21a元 C. 1.1a元 D.0.1a 元 8、某商店卖出两件衣服,每件60元,其中一件赚25%,另一件亏25%,那么这两件衣服卖出后,商店是 ( ) A.不赚不亏 B.赚8元 C.亏8元 D. 赚8元 9、下列方程中,是一元一次方程的是( ) (A) (B) (C) (D) 10、方程 的解是( ) (A) (B) (C) (D) 1已知等式 ,则下列等式中不一定成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 12、方程 的解是 ,则 等于( ) (A) (B) (C) (D) 13、解方程 ,去分母,得( ) (A) (B) (C) (D) 14、下列方程变形中,正确的是( ) (A)方程 ,移项,得 (B)方程 ,去括号,得 (C)方程 ,未知数系数化为1,得 (D)方程 化成 15、儿子今年12岁,父亲今年39岁,( )父亲的年龄是儿子的年龄的4倍. (A)3年后; (B)3年前; (C)9年后; (D)不可能. 16、重庆力帆新感觉足球队训练用的足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的,其中黑皮可看作正五边形,白皮可看作正六边形,黑、白皮块的数目比为3:5,要求出黑皮、白皮的块数,若设黑皮的块数为 ,则列出的方程正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 17、珊瑚中学修建综合楼后,剩有一块长比宽多5m、周长为50m的长方形空地. 为了美化环境,学校决定将它种植成草皮,已知每平方米草皮的种植成本最低是 元,那么种植草皮至少需用( ) (A) 元; (B) 元; (C) 元; (D) 元. 一年期 二年期 三年期 2.25 2.43 2.70 18、银行教育储蓄的年利率如右下表: 小明现正读七年级,今年7月他父母为他在银行存款30000元,以供3年后上高中使用. 要使3年后的收益最大,则小明的父母应该采用( ) (A)直接存一个3年期; (B)先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存一个2年期; (C)先存一个1年期的,1年后将利息和自动转存两个1年期; (D)先存一个2年期的,2年后将利息和自动转存一个1年期. 二. 填空题: ,则 ________. 2、已知 ,则 __________. 3、关于 的方程 的解是3,则 的值为________________. 4、现有一个三位数,其个位数为 ,十位上的数字为 ,百位数上的数字为 ,则这个三位数表示为__________________. 5、甲、乙两班共有学生96名,甲班比乙班多2人,则乙班有____________人. 6、某数的3倍比它的一半大2,若设某数为 ,则列方程为____. 7、当 ___时,代数式 与 的值互为相反数. 8、在公式 中,已知 ,则 ___. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 9、如右图是2003年12月份的日历,现用一长方形在日历中任意框出4个数 ,请用一个等式表示 之间的关系______________. 10、一根内径为3㎝的圆柱形长试管中装满了水,现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8㎝、高为1.8㎝的圆柱形玻璃杯中,当玻璃杯装满水时,试管中的水的高度下降了____㎝. 1国庆期间,“新世纪百货”搞换季打折. 简爽同学以8折的优惠价购买了一件运动服节省16元,那么他购买这件衣服实际用了___元. 12、成渝铁路全长504千米. 一辆快车以90千米/时的速度从重庆出发,1小时后,另有一辆慢车以48千米/时的速度从成都出发,则慢车出发__小时后两车相遇(沿途各车站的停留时间不计). 13、我们小时候听过龟兔赛跑的故事,都知道乌龟最后战胜了小白兔. 如果在第二次赛跑中,小白兔知耻而后勇,在落后乌龟1千米时,以101米/分的速度奋起直追,而乌龟仍然以1米/分的速度爬行,那么小白兔大概需要___分钟就能追上乌龟. 14、一年定期存款的年利率为1.98%,到期取款时须扣除利息的20%作为利息税上缴国库. 假若小颖存一笔一年定期储蓄,到期扣除利息税后实得利息158.4元,那么她存入的人民币是____元 15、52辆车排成两队,每辆车长a米,前后两车间隔3a/2米,车队平均每分钟行50米,这列车队通过长为546米的广场需要的时间是16分钟,则a=__________. 三、解方程: 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、已知 是方程 的根,求代数式 的值. 四、列方程解应用题: 敌军在离我军8千米的驻地逃跑,时间是早晨4点,我军于5点出发以每小时10千米的速度追击,结果在7点追上.求敌军逃跑时的速度是多少? 2、期中考查,信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生打完一篇文章. 已知独立打完同样大小文章,小宝需要50分钟,小贝只需要30分钟. 为了完成任务,小宝打了30分钟后,请求小贝帮助合作,他能在要求的时间打完吗? 3、在学完“有理数的运算”后,实验中学七年级各班各选出5名学生组成一个代表队,在数学方老师的组织下进行一次知识竞赛. 竞赛规则是:每队都分别给出50道题,答对一题得3分,⑴ 如果二班代表队最后得分142分,那么二班代表队回答对了多少道题?⑵ 一班代表队的最后得分能为145分吗?请简要说明理由. 4、某“希望学校”修建了一栋4层的教学大楼,每层楼有6间教室,进出这栋大楼共有3道门(两道大小相同的正门和一道侧门). 安全检查中,对这3道门进行了测试:当同时开启一道正门和一道侧门时,2分钟内可以通过400名学生,若一道正门平均每分钟比一道侧门可多通过40名学生. (1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生? (2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率降低20%. 安全检查规定:在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这3道门安全撤离. 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问:建造的这3道门是否符合安全规定?为什么? 5、黑熊妈妈想检测小熊学习“列方程解应用题”的效果,给了小熊19个苹果,要小熊把它们分成4堆. 要求分后,如果再把第一堆增加一倍,第二堆增加一个,第三堆减少两个,第四堆减少一倍后,这4堆苹果的个数又要相同. 小熊捎捎脑袋,该如何分这19个苹果为4堆呢? 6、学校准备拿出2000元资金给22名“希望杯”竞赛获奖学生买奖品,一等奖每人200元奖品,二等奖每人50元奖品,求得到一等奖和二等奖的学生分别是多少人? 7、一家商店将某种商品按成本价提高40%后标价,元旦期间,欲打八折销售,以答谢新老顾客对本商厦的光顾,售价为224元,这件商品的成本价是多少元? 8、甲乙两人从学校到1000米远的展览馆去参观,甲走了5分钟后乙才出发,甲的速度是80米/分,乙的速度是180米/分,问乙多长时间能追上甲?追上甲时离展览馆还有多远? 较高要求: 已知 ,那么代数式 的值。

2、(2001年江苏省无锡市中考题)某商场根据市场信息,对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售,其中一台空调调价后售出可获利10%(相对于进价),另一台空调调价后售出则亏本10%(相对于进价),而这两台空调调价后的售价恰好相同,那么商场把这两台空调调价后售出( ). (A)既不获利也不亏本 (B)可获利1% (C)要亏本2% (D)要亏本1% 3、某开发商按照分期付款的形式售房,小明家购买了一套现价为12万元的新房,购房时需首付(第一年)款3万元,从第二年起,以后每年应付房款为5000元与上一年剩余欠款的利息之和。

已知剩余款的年利率为0.4%,问第几年小明家需交房款5200元? 4、某牛奶加工厂现有鲜奶9吨,若在市场上直接销售鲜奶,每吨可获利润500元,若制成酸奶销售,每吨可获利润1200元;若制成奶片销售,每吨可获利润2000元. 方案一:尽可能多的制成奶片,其余直接销售鲜牛奶; 方案二:将一部分制成奶片,其余制成酸奶销售,并恰好4天完成;(1)你认为选择哪种方案获利最多,为什么? (2)本题解出之后,你还能提出哪些问题?若没解出,写出你存在的问题? 5、两辆汽车从同一地点同时出发,沿着同一方向同速直线行驶,每车最多只能带24桶汽油,途中不能用别的油,每桶油可使一辆车前进60公里,两车都必须返回出发地点,但是可以不同时返回,两车相互可借用对方的油。

为了使其中一车尽可能地远离出发地点,另一辆车应当在离出发地点多少公里地方返回?离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里?。

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